凯利公式（Kelly Criterion）

来源：1956 年贝尔实验室科学家 John L. Kelly Jr. 发表，原本研究电话信号噪声，后被职业赌徒和量化投资者引入资金管理领域。

核心问题：每次下注 / 投资，应该用多少比例的资金，才能让长期财富增长最快？

公式

f^{*} = \frac{b p - q}{b}

符号	含义
`f*`	最优投注比例（占总资金的百分比）
`b`	赔率（赢 1 元能净得 b 元）
`p`	获胜概率
`q`	失败概率 = 1 − p

简化版（赔率 1:1，赢多少赔多少时）：

f* = p - q = 2p - 1

直觉理解

凯利公式不是最大化单次期望值，而是最大化长期资本的几何增长率。

单次期望最大 → 梭哈（all in）
长期增长最大 → 凯利比例

两者完全不同。

为什么梭哈会破产：即使胜率 60%，连续几次输赢后：

资产 = 初始 × (赢时倍数 × 输时倍数)^n

all in，赔率1:1，胜率60%：
资产 = 初始 × (2.0 × 0.0)^n = 0  ← 一次失败归零

凯利20%，同样条件：
资产持续增长，永不归零

数值例子

例 1：经典抛硬币偏置

胜率 60%，赔率 1:1（赢 1 赔 1）

f* = (1 × 0.6 - 0.4) / 1 = 0.20 = 20%

→ 每次用 20% 的资金，长期增长率最优

例 2：高赔率机会

胜率 55%，赔率 2:1（赢 2 赔 1）

f* = (2 × 0.55 - 0.45) / 2 = 0.325 = 32.5%

→ 赔率越高，最优仓位越大

例 3：公平游戏

胜率 50%，赔率 1:1

f* = (1 × 0.5 - 0.5) / 1 = 0 = 0%

→ 不应该参与。期望值为零的游戏，长期一定磨损（交易手续费等）

例 4：负期望

胜率 45%，赔率 1:1（如大多数赌场游戏）

f* = (1 × 0.45 - 0.55) / 1 = -0.10

→ 负值 = 不应参与，参与则越赌越亏

超注的后果

下注比例超过凯利值，长期增长率反而下降：

最优仓位（凯利值）= 增长率最高点
低于凯利值 → 增长率下降，但可以接受
高于凯利值 → 增长率快速下降
2倍凯利值 → 增长率 = 0（原地踏步）
超过2倍   → 增长率为负（长期亏损）

这就是为什么"重仓搏一把"在数学上是错误的，即使你判断对了方向。

半凯利（Half Kelly）⭐ 实际推荐

全凯利在理论上最优，但实际使用中大多数职业交易者选择 f/2*：

指标	全凯利	半凯利
长期增长率	100%	~75%
最大回撤	极大	减少约 50%
心理压力	难以承受	可接受
推荐场景	理论研究	实际交易

牺牲约 25% 的长期收益，换取 50% 的波动率降低 — 大多数人认为这笔交换值得。

投资中的应用

股票仓位管理

已知：
- 某股票历史胜率（判断上涨后真的涨的概率）= 60%
- 平均盈亏比（平均盈利/平均亏损）= 2:1

凯利比例 = (2 × 0.6 - 0.4) / 2 = 40%
半凯利   = 20%

→ 该仓位建议不超过总资金的 20%

多仓位组合

持有多个仓位时，各仓位的凯利比例之和不应超过 1（否则等效于超注）。实际操作中，单仓位用半凯利，总仓位控制在 80% 以内留有安全边际。

核心局限性

1. 胜率和赔率难以精确估算
这是最大的问题。凯利公式对输入极度敏感——高估胜率 10%，实际投注比例可能超出最优值数倍。

2. 假设独立性
公式假设每次交易独立，但股市中资产价格高度相关，连续亏损的概率远高于独立假设。

3. 短期波动极大
即使按凯利比例操作，短期内账户可能回撤 30-50%。大多数人在理论回报出现前就因为心理压力止损离场。

4. 高估时的惩罚

真实胜率 55%，误以为是 65%：
错误凯利 = 大幅超注
实际结果 = 账户快速缩水

一句话总结

凯利公式告诉你：在有优势的游戏里，下注多少才能让财富增长最快。
没有优势时，答案是 0 — 不要参与。

Sources

raw/投资/凯利公式.md